四象限里的正弦、余弦和正切

四象限里的正弦、余弦和正切

正弦、余弦和正切

三角法里的三个主要函数是正弦、余弦和正切。

算法很简单：

把三角形的一边除以另外一边

……但我们必须知道是哪一边！

以 θ 为角度，这些函数的计算方法是：

正弦函数：

sin(θ) = 对边 / 斜边

余弦函数：

cos(θ) = 邻边 / 斜边

正切函数：

tan(θ) = 对边 / 邻边

例子：35°的正弦是多少？

用这个三角形（长度准确到一个小数位）：

sin(35°) = 对边 / 斜边 = 2.8/4.9 = 0.57……

笛卡尔坐标

在笛卡尔坐标里，我们用左右 和 上下 的距离来表达一个点：

点 (12,5) 是向右 12 单位，和向上 5 单位。

四个象限

包括负数在内，x轴 和 y轴把平面空间分成四个部分：

象限 I、II、III 和 IV

（以逆时针方向排序）

在象限 I，x 和 y 两者皆为正数，

在象限 II ，x 是负数（y 仍是正数），

在象限 III x 和 y 两者皆为负数，

在象限 IV，x 再次是正数，而 y 是负数。

如下：

象限

X

（水平）

Y

（垂直）

例子

I

正

正

(3,2)

II

负

正

III

负

负

(−2,−1)

IV

正

负

例子：点 "C"（−2,−1）是在负（向左）2 单位和负（向下）1单位。

x 和 y 两者都是负数，所以点是在 "象限 III"

四个象限里的正弦、余弦和正切

现在我们来看看在每个象限的 30°三角形。

在象限 I，一切正常， 正弦、余弦和正切 全是正数：

例子：30°的正弦、余弦和正切

正弦

sin(30°) = 1 / 2 = 0.5

余弦

cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866

正切

tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577

但在象限 II，x 是负数，余弦和正切也变成负数：

例子：150°的正弦、余弦和正切

正弦

sin(150°) = 1 / 2 = 0.5

余弦

cos(150°) = −1.732 / 2 = −0.866

正切

tan(150°) = 1 / −1.732 = −0.577

在象限 III，正弦和余弦是负数：

例子：210°的正弦、余弦和正切

正弦e

sin(210°) = −1 / 2 = −0.5

余弦

cos(210°) = −1.732 / 2 = −0.866

正切

tan(210°) = −1 / −1.732 = 0.577

注意：正切是正数，因为负数除以负数的结果是正数。

In 象限 IV，正弦和正切是负数：

例子：330°的正弦、余弦和正切

正弦

sin(330°) = −1 / 2 = −0.5

余弦

cos(330°) = 1.732 / 2 = 0.866

正切

tan(330°) = −1 / 1.732 = −0.577

有个规律！看看正弦、余弦和正切在什么地方是正数……

在象限 I，三个函数都是正数

在象限 II，只有正弦是正数

在象限 III，只有正切是正数

在象限 IV，只有余弦是正数

在这图可以看得很清楚：

你可以记着英语字母 ASTC，就是 (A)ll（全部）、(S)ine、(T)angent 和 (C)osine。

这图也显示 "ASTC"。

两个值

看这个正弦的图：

（在头 360°里），有 两个角度的正弦是相同的！

余弦 和 正切也一样。

麻烦的是：计算器只会给你其中一个答案……

……但你可以用以下的规则来求另一个答案：

第一值

第二值

正弦

θ

180º − θ

余弦

θ

360º − θ

正切

θ

θ − 180º

若角度小于 0º，加 360º.

我们现在可以解方程在 0º 与 360º之间的答案了（用 反正弦、反余弦和反正切）

例子：解 sin θ = 0.5

用计算器，我们得到第一个答案 = sin-1(0.5) = 30º

（在象限 I）

另一个答案是 180º − 30º = 150º (（象限 II）

例子：解 tan θ

= −1.3

用计算器，我们得到第一个答案 = tan-1(−1.3) = −52.4º

这是小于 0º，所以加 360º：−52.4º + 360º = 307.6º （象限 IV）

另一个答案是 307.6º − 180º =

127.6º （象限 II）

例子：解 cos θ

= −0.85

用计算器，我们得到第一个答案 = cos-1(−0.85) =

148.2º （象限 II）

另一个答案是 360º − 148.2º = 211.8º （象限 III）

活动:沙漠步行 2

单位圆 互动单位圆 三角索引